Bei einem neuen Exchange Online gestaltet sich das E-Mail aktivieren etwas aufwändiger wie gedacht.
Damit dies funktioniert, muss folgendes gemacht werden:
 Rechte bearbeiten:

Remove-PublicFolderClientPermission "\öffentlicher Ordner" -User domäne\User

Add-PublicFolderClientPermission "\öffentlicher Ordner" -User anonym -AccessRights createItems

Ausserdem müssen alle akzeptierten Domänen auf den Typ „Internes Relay“ umgstellt werden.
Dies geht am schnellsten über die ECP.

Unter „Nachrichtenfluss“ –> akzeptierte Domänen, und auf „bearbeiten“ klicken.